بهینه سازی با قیود معادلات دیفرانسیل جزئی

مدل سازی ریاضی سیستم های پیچیده‎،‎ معادلات دیفرانسیل جزئی را نتیجه می دهند‎.‎ در اکثر مسائل ریاضی و مهندسی‎،‎ هدف نهایی تنها مدل سازی چنین سیستم هایی نیست‎،‎ بلکه هدف نهایی بهینه سازی فرآیند موردنظر است‎.‎ به این ترتیب مسائل بهینه سازی مقید با حداقل یک قید معادله دیفرانسیل جزئی به وجود می آیند‎.‎ معادلات ناویه-استوکس یک مدل ریاضی برای توصیف جریان سیال ها می باشد‎.‎ در این پایان نامه‎،‎ مساله بهینه سازی مقید با قید معادلات ناویه-استوکس یا مساله کنترل بهینه ناویه-استوکس در نظر گرفته می شود‎.‎ این مساله به دو دسته توزیع شده و مرزی تقسیم می گردد‎.‎ در پایان نامه حاضر‎،‎ مساله کنترل بهینه توزیع شده مورد بررسی قرار می گیرد و هدف کنترل نمودن سرعت سیال در یک حباب در فضایی مستطیل شکل است به گونه ای که سرعت سیال با سرعت سیال مورد انتظار در زمان نهایی منطبق گردد‎.‎ ابتدا مقدمات ریاضی لازم برای ورود به مبحث کنترل بهینه ارائه می شود‎.‎ سپس‎،‎ قضایای وجود جواب برای معادلات ناویه-استوکس و مساله کنترل بهینه مربوطه و شرایط لازم مرتبه اول بهینگی بیان می شوند‎.‎ در ادامه با توجه به اهمیت نحوه محاسبه گرادیان تابع هدف برای روش های بهینه سازی بر مبنای مشتق‎،‎ چند روش متداول ارائه می شود‎.‎ سپس روش های موجود برای حل مساله کنترل بهینه ناویه-استوکس همراه با قضایای همگرایی آن ها مطرح می شوند‎.‎ از آنجایی که در اکثر این روش ها‎،‎ حل معادلات ناویه-استوکس لازم می باشد لذا یک روش حل با روش تفاضل متناهی‎،‎ بر مبنای روش تصویر چورین ‎method) projection s (chorin‎ روی یک شبکه شطرنجی ‎grid) (staggered‎ شرح داده می شود‎.‎ این روش برای معادلات ناویه-استوکس همگن توسط سیبولد ‎(seibold)‎ به صورت یک برنامه کامپیوتری در بسته نرم افزاری متلب ‎(matlab)‎ ارائه شده است‎.‎ در این پایان نامه‎،‎ روش مذکور برای معادلات ناویه-استوکس ناهمگن تعمیم داده می شود و از آن برای حل مساله کنترل بهینه ناویه-استوکس استفاده می گردد‎.‎ مساله کنترل بهینه ناویه-استوکس با شرایط مرزی مساله حباب با روش شبه نیوتن ‎bfgs‎ ‎(broyden-fletcher-goldfarb-shanno)‎ حل می شود و نتایج به دست آمده برای اعداد رینولدزی بین صفر و بیست ‎($0<releq 20$)‎ ارائه می گردد‎. نتایج مختلفی حاصل از تغییر در شرایطی از مساله مانند عدد رینولدز‎،‎ سرعت سیال مورد انتظار و فاصله زمانی ارائه می شود‎.‎ نتایج حاکی از آن است که می توان سرعت سیال را به سرعت سیالی با عدد رینولدز ‎$0.01$‎ و ‎$100$‎ نزدیک کرد